Mas's Blog
Masellum 的生活日志
[NOI2002] 银河英雄传说

题目

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题目描述

公元五八○一年,地球居民迁至金牛座α第二行星,在那里发表银河联邦创立宣言,同年改元为宇宙历元年,并开始向银河系深处拓展。

宇宙历七九九年,银河系的两大军事集团在巴米利恩星域爆发战争。泰山压顶集团派宇宙舰队司令莱因哈特率领十万余艘战舰出征,气吞山河集团点名将杨威利组织麾下三万艘战舰迎敌。

杨威利擅长排兵布阵,巧妙运用各种战术屡次以少胜多,难免恣生骄气。在这次决战中,他将巴米利恩星域战场划分成 3000030000 列,每列依次编号为 1,2,,300001, 2, …,30000。之后,他把自己的战舰也依次编号为 1,2,,300001, 2, …, 30000,让第 ii 号战舰处于第 ii(i=1,2,,30000)(i = 1, 2, …, 30000),形成“一字长蛇阵”,诱敌深入。这是初始阵形。当进犯之敌到达时,杨威利会多次发布合并指令,将大部分战舰集中在某几列上,实施密集攻击。合并指令为 Mi,jM_{i,j},含义为第 ii 号战舰所在的整个战舰队列,作为一个整体(头在前尾在后)接至第j号战舰所在的战舰队列的尾部。显然战舰队列是由处于同一列的一个或多个战舰组成的。合并指令的执行结果会使队列增大。

然而,老谋深算的莱因哈特早已在战略上取得了主动。在交战中,他可以通过庞大的情报网络随时监听杨威利的舰队调动指令。

在杨威利发布指令调动舰队的同时,莱因哈特为了及时了解当前杨威利的战舰分布情况,也会发出一些询问指令: Ci,jC_{i,j}。该指令意思是,询问电脑,杨威利的第 ii 号战舰与第 jj 号战舰当前是否在同一列中,如果在同一列中,那么它们之间布置有多少战舰。

作为一个资深的高级程序设计员,你被要求编写程序分析杨威利的指令,以及回答莱因哈特的询问。

最终的决战已经展开,银河的历史又翻过了一页……

输入输出格式

输入格式

第一行有一个整数 T(1T500,000)T(1 \le T \le 500,000),表示总共有 TT 条指令。

以下有 TT 行,每行有一条指令。指令有两种格式:

  1. Mi,jM_{i,j}iijj 是两个整数 (1i,j30000)(1 \le i,j \le 30000),表示指令涉及的战舰编号。该指令是莱因哈特窃听到的杨威利发布的舰队调动指令,并且保证第 ii 号战舰与第 jj 号战舰不在同一列。
  2. Ci,jC_{i,j}iijj 是两个整数 (1i,j30000)(1 \le i,j \le 30000),表示指令涉及的战舰编号。该指令是莱因哈特发布的询问指令。

输出格式

依次对输入的每一条指令进行分析和处理:

如果是杨威利发布的舰队调动指令,则表示舰队排列发生了变化,你的程序要注意到这一点,但是不要输出任何信息;

如果是莱因哈特发布的询问指令,你的程序要输出一行,仅包含一个整数,表示在同一列上,第 ii 号战舰与第 jj 号战舰之间布置的战舰数目。如果第 ii 号战舰与第 jj 号战舰当前不在同一列上,则输出 1-1

说明

数据范围

#题解

注意到这个题维护的是一些不相交集合的元素间的相对关系,因此考虑使用带权并查集。

对于两艘战舰,如果我们能知道他们与他们所在的列的第一艘战舰之间的距离,就可以用类似前缀和的方式求出他们之间的距离。所以我们考虑用并查集的权来维护一个数组 d ,其中 d[x] 表示编号为 x 的战舰距离编号为 fa[x] 的战舰的距离。为了在合并两列的时候更方便的更新这个信息,我们要再维护一个数组 cnt ,其中 cnt[x] 表示元素 cnt 所在的列的战舰的数量。

我们设 d[x] 初值为 0cnt[x] 初值为 1

在进行并查集的两个基本操作查询与合并时,我们都要维护这两个信息。

对于查询操作,我们考虑到时间复杂度的问题,因此需要进行路径压缩。伪代码如下:

FIND(x)
    if x != father[x]
        LET former_father = fa[x]
        fa[x] = FIND(fa[x])
        d[x] = d[x] + d[former_father]
        cnt[x] = cnt[former_mather]
    RETURN fa[x]

对于合并操作,因为本题中的合并有顺序,因此不能使用按秩合并优化。伪代码如下:

MERGE(x, y)
    x = FIND(x)
    y = FIND(y)
    fa[x] = y
    d[x] = d[y] + cnt[y]
    cnt[y] = cnt[y] + cnt[x]
    cnt[x] = cnt[y]

需要注意的是这里合并之后 d[x] 的值并不是正确的。但是在 FIND\mathrm{FIND} 之后可以维护成正确的。

处理 Ci,jC_{i, j}操作时,如果 FIND(i)FIND(j)\mathrm{FIND}(i) \neq \mathrm{FIND}(j),则两艘战舰不在同一列。否则他们的距离就是 d[x]d[y]1\vert d[x] - d[y] \vert - 1

代码

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

const int MAXN = 30000 + 5;

int fa[MAXN], cnt[MAXN], d[MAXN], t /*  */;

int find(int x) {
    if (x != fa[x]) {
        int k = fa[x];
        fa[x] = find(fa[x]);
        d[x] = d[x] + d[k];
        cnt[x] = cnt[k];
    }
    return fa[x];
}

void merge(int x, int y) {
    x = find(x);
    y = find(y);
    fa[x] = y;
    d[x] = d[y] + cnt[y];
    cnt[y] += cnt[x];
    cnt[x] = cnt[y];
}

int main() {
    scanf("%d\n", &t);
    for (int i = 1; i <= 30000; ++i) {
        fa[i] = i;
        d[i] = 0;
        cnt[i] = 1;
    }
    char c;
    int x, y;
    while (t--) {
        std::cin >> c >> x >> y;
        if (c == 'M') {
            merge(x, y);
        } else if (c == 'C') {
            int a = find(x), b = find(y);
            if (a != b) {
                printf("-1\n");
                continue;
            } else {
                printf("%d\n", std::abs(d[x] - d[y]) - 1);
            }
        }
    }
    return 0;
}

Finita la commedia.